द्विघात समीकरण का रेखांकन कैसे करें: 10 कदम (चित्रों के साथ)

2024 लेखक: Robert Blare | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2024-02-02 02:06

जब रेखांकन किया जाता है, तो फॉर्म के द्विघात समीकरण कुल्हाड़ी² + बीएक्स + सी या ए (एक्स - एच)² + के एक चिकनी यू-आकार या एक उल्टे यू-आकार का वक्र दें जिसे परवलय कहा जाता है। द्विघात समीकरण को रेखांकन करना इसके शीर्ष, दिशा और, अक्सर, इसके x और y अंतःखंडों को खोजने का विषय है। अपेक्षाकृत सरल द्विघात समीकरणों के मामलों में, यह x मानों की श्रेणी में प्लग करने और परिणामी बिंदुओं के आधार पर एक वक्र प्लॉट करने के लिए भी पर्याप्त हो सकता है। आरंभ करने के लिए नीचे चरण 1 देखें।

कदम

चरण 1. निर्धारित करें कि आपके पास द्विघात समीकरण का कौन सा रूप है।

द्विघात समीकरण को तीन अलग-अलग रूपों में लिखा जा सकता है: मानक रूप, शीर्ष रूप और द्विघात रूप। द्विघात समीकरण को रेखांकन करने के लिए आप किसी भी रूप का उपयोग कर सकते हैं; प्रत्येक को रेखांकन करने की प्रक्रिया थोड़ी भिन्न होती है। यदि आप एक गृहकार्य समस्या कर रहे हैं, तो आपको आमतौर पर इन दो रूपों में से एक में समस्या प्राप्त होगी - दूसरे शब्दों में, आप चुनने में सक्षम नहीं होंगे, इसलिए दोनों को समझना सबसे अच्छा है। द्विघात समीकरण के दो रूप हैं:

• आदर्श फॉर्म।

  इस रूप में, द्विघात समीकरण को इस प्रकार लिखा जाता है: f(x) = ax² + bx + c जहाँ a, b और c वास्तविक संख्याएँ हैं और a शून्य के बराबर नहीं है।

  उदाहरण के लिए, दो मानक रूप द्विघात समीकरण हैं f(x) = x² + 2x + 1 और f(x) = 9x² + 10x -8।

• वर्टेक्स फॉर्म।

  इस रूप में, द्विघात समीकरण को इस प्रकार लिखा जाता है: f(x) = a(x - h)² + k जहाँ a, h और k वास्तविक संख्याएँ हैं और a शून्य के बराबर नहीं है। वर्टेक्स फॉर्म का नाम इसलिए रखा गया है क्योंकि h और k सीधे आपको बिंदु (h, k) पर आपके परवलय का शीर्ष (केंद्रीय बिंदु) देते हैं।

  दो शीर्ष रूप समीकरण हैं f(x) = 9(x - 4)² +18 और -3(x - 5)² + 1

• इन प्रकार के समीकरणों में से किसी एक को रेखांकन करने के लिए, हमें पहले परवलय के शीर्ष को खोजने की आवश्यकता है, जो कि वक्र के "टिप" पर केंद्रीय बिंदु (h, k) है। शीर्ष के निर्देशांक मानक रूप में दिए गए हैं: h = -b/2a और k = f(h), जबकि शीर्ष रूप में, h और k समीकरण में निर्दिष्ट हैं।

चरण 2. अपने चर परिभाषित करें।

द्विघात समस्या को हल करने में सक्षम होने के लिए, चर a, b, और c (या a, h, और k) को आमतौर पर परिभाषित करने की आवश्यकता होती है। एक औसत बीजगणित समस्या आपको आमतौर पर मानक रूप में भरे हुए चर के साथ एक द्विघात समीकरण देगी, लेकिन कभी-कभी शीर्ष रूप में।

• उदाहरण के लिए, मानक रूप समीकरण f(x) = 2x. के लिए² +16x + 39, हमारे पास a = 2, b = 16, और c = 39 है।
• शीर्ष रूप समीकरण के लिए f(x) = 4(x - 5)² + 12, हमारे पास a = 4, h = 5, और k = 12 है।

चरण 3. गणना एच।

शीर्ष रूप समीकरणों में, h के लिए आपका मान पहले ही दिया जा चुका है, लेकिन मानक रूप समीकरणों में, इसकी गणना की जानी चाहिए। याद रखें कि, मानक रूप समीकरणों के लिए, h = -b/2a.

• हमारे मानक रूप उदाहरण में (f(x) = 2x² +16x + 39), एच = -बी/2ए = -16/2(2)। हल करने पर हम पाते हैं कि h = - 4.
• हमारे शीर्ष रूप में उदाहरण (f(x) = 4(x - 5)² + 12), हम बिना कोई गणित किए h = 5 जानते हैं।

चरण 4. k की गणना करें।

जैसा कि h के साथ होता है, k पहले से ही शीर्ष रूप समीकरणों में जाना जाता है। मानक रूप समीकरणों के लिए, याद रखें कि k = f(h)। दूसरे शब्दों में, आप अपने समीकरण में x के प्रत्येक उदाहरण को उस मान से बदलकर k पा सकते हैं जो आपने अभी h के लिए पाया है।

• हमने अपने मानक रूप उदाहरण में निर्धारित किया है कि h = -4। K को खोजने के लिए, हम अपने समीकरण को x के स्थान पर h के लिए हमारे मान के साथ हल करते हैं:

  • कश्मीर = 2(-4)² + 16(-4) + 39.
  • के = 2(16) - 64 + 39।

  • कश्मीर = 32 - 64 + 39 =

    चरण 7.

• हमारे वर्टेक्स फॉर्म उदाहरण में, फिर से, हम बिना किसी गणित के k (जो कि 12 है) का मान जानते हैं।

चरण 5. अपने शीर्ष को प्लॉट करें।

आपके परवलय का शीर्ष बिंदु (h, k) होगा - h x निर्देशांक निर्दिष्ट करता है, जबकि k y निर्देशांक निर्दिष्ट करता है। शीर्ष आपके परवलय में केंद्रीय बिंदु है - या तो "यू" के बहुत नीचे या ऊपर-नीचे "यू" के बहुत ऊपर। शीर्ष को जानना एक सटीक परवलय को रेखांकन करने का एक अनिवार्य हिस्सा है - अक्सर, स्कूल के काम में, शीर्ष को निर्दिष्ट करना एक प्रश्न का एक आवश्यक हिस्सा होगा।

• हमारे मानक रूप उदाहरण में, हमारा शीर्ष (-4, 7) पर होगा। तो, हमारा परवलय 0 के बाईं ओर 4 रिक्त स्थान और ऊपर (0, 0) से 7 स्थान ऊपर होगा। निर्देशांक को लेबल करना सुनिश्चित करते हुए, हमें इस बिंदु को अपने ग्राफ पर प्लॉट करना चाहिए।
• हमारे शीर्ष रूप उदाहरण में, हमारा शीर्ष (5, 12) पर है। हमें दायीं ओर 5 स्थान और ऊपर के 12 स्थान (0, 0) पर एक बिंदु बनाना चाहिए।

चरण 6. परवलय की धुरी (वैकल्पिक) बनाएं।

एक परवलय की सममिति की धुरी इसके मध्य से गुजरने वाली रेखा है जो इसे पूरी तरह से आधे में विभाजित करती है। इस अक्ष के पार, परवलय का बायाँ भाग दाएँ पक्ष को प्रतिबिम्बित करेगा। कुल्हाड़ी के रूप के द्विघात के लिए² + बीएक्स + सी या ए (एक्स - एच)² + k, अक्ष y-अक्ष के समानांतर एक रेखा है (दूसरे शब्दों में, पूरी तरह से लंबवत) और शीर्ष से होकर गुजरती है।

हमारे मानक रूप उदाहरण के मामले में, अक्ष y-अक्ष के समानांतर और बिंदु (-4, 7) से गुजरने वाली एक रेखा है। हालांकि यह परवलय का ही हिस्सा नहीं है, फिर भी अपने ग्राफ़ पर इस रेखा को हल्के ढंग से चिह्नित करने से आपको यह देखने में मदद मिल सकती है कि परवलय सममित रूप से कैसे घटता है।

चरण 7. खोलने की दिशा ज्ञात कीजिए।

परवलय के शीर्ष और अक्ष का पता लगाने के बाद, हमें आगे यह जानना होगा कि परवलय ऊपर की ओर खुलता है या नीचे की ओर। सौभाग्य से, यह आसान है। यदि "a" धनात्मक है, तो परवलय ऊपर की ओर खुलेगा, जबकि यदि "a" ऋणात्मक है, तो परवलय नीचे की ओर खुलेगा (अर्थात, यह उल्टा हो जाएगा।)

• हमारे मानक रूप उदाहरण के लिए (f(x) = 2x² +16x + 39), हम जानते हैं कि हमारे पास एक परवलय ऊपर की ओर खुलता है, क्योंकि हमारे समीकरण में, a = 2 (धनात्मक)।
• हमारे शीर्ष रूप उदाहरण के लिए (f(x) = 4(x - 5)² + 12), हम जानते हैं कि हमारे पास एक परवलय भी ऊपर की ओर खुलता है क्योंकि a = 4 (धनात्मक)।

चरण 8. यदि आवश्यक हो, तो x इंटरसेप्ट खोजें और प्लॉट करें।

अक्सर, स्कूलवर्क पर, आपको परवलय के x-अवरोधन (जो या तो एक या दो बिंदु होते हैं जहां परवलय x अक्ष से मिलता है) को खोजने के लिए कहा जाएगा। यहां तक कि अगर आप उन्हें नहीं ढूंढ रहे हैं, तो ये दो बिंदु सटीक परवलय को चित्रित करने के लिए अमूल्य हो सकते हैं। हालांकि, सभी परवलयों में x-अवरोधन नहीं होते हैं। यदि आपके परवलय का एक शीर्ष ऊपर की ओर खुलता है और x अक्ष के ऊपर एक शीर्ष है या यदि यह नीचे की ओर खुलता है और x अक्ष के नीचे एक शीर्ष है, इसमें कोई x इंटरसेप्ट नहीं होगा. अन्यथा, निम्न विधियों में से किसी एक के साथ अपने x इंटरसेप्ट को हल करें:

• बस f(x) = 0 सेट करें और समीकरण को हल करें। यह विधि सरल द्विघात समीकरणों के लिए काम कर सकती है, विशेष रूप से शीर्ष रूप में, लेकिन अधिक जटिल समीकरणों के लिए अत्यधिक कठिन साबित होगी। उदाहरण के लिए नीचे देखें

  • एफ (एक्स) = 4 (एक्स - 12)² - 4
  • 0 = 4(x - 12)² - 4
  • 4 = 4 (एक्स - 12)²
  • 1 = (एक्स - 12)²
  • वर्ग (1) = (x - 12)
  • +/- 1 = एक्स -12। एक्स = 11 और 13 परवलय के x-अवरोधन हैं।

• अपने समीकरण को फैक्टर करें। कुल्हाड़ी में कुछ समीकरण² + बीएक्स + सी फॉर्म को आसानी से फॉर्म (डीएक्स + ई) (एफएक्स + जी) में विभाजित किया जा सकता है, जहां डीएक्स × एफएक्स = कुल्हाड़ी², (डीएक्स × जी + एफएक्स × ई) = बीएक्स, और ई × जी = सी। इस मामले में, आपके x इंटरसेप्ट x के लिए मान हैं जो कोष्ठक में या तो शब्द बनाते हैं = 0। उदाहरण के लिए:

  • एक्स² + 2x + 1
  • = (एक्स + 1)(एक्स + 1)
  • इस मामले में, आपका एकमात्र x अवरोधन -1 है क्योंकि x को -1 के बराबर सेट करने से कोष्ठकों में से कोई भी गुणनखंड 0 के बराबर हो जाएगा।

• द्विघात सूत्र का प्रयोग करें। यदि आप अपने x इंटरसेप्ट के लिए आसानी से हल नहीं कर सकते हैं या अपने समीकरण का कारक नहीं बना सकते हैं, तो इसी उद्देश्य के लिए डिज़ाइन किए गए द्विघात सूत्र नामक एक विशेष समीकरण का उपयोग करें। यदि यह पहले से नहीं है, तो अपने समीकरण को कुल्हाड़ी के रूप में प्राप्त करें² + bx + c, फिर a, b, और c को सूत्र x = (-b +/- SqRt(b) में प्लग करें² - 4एसी))/2ए। ध्यान दें कि यह आपको अक्सर x के लिए दो उत्तर देता है, जो ठीक है - इसका सीधा सा मतलब है कि आपके परवलय में दो x इंटरसेप्ट हैं। उदाहरण के लिए नीचे देखें:

  • -5x² + 1x + 10 को द्विघात सूत्र में निम्नानुसार जोड़ा जाता है:
  • एक्स = (-1 +/- वर्गआरटी (1.)² - 4(-5)(10)))/2(-5)
  • एक्स = (-1 +/- वर्गआरटी(1 + 200))/-10
  • x = (-1 +/- वर्ग (२०१))/-१०
  • एक्स = (-1 +/- 14.18)/-10
  • एक्स = (13.18/-10) और (-15.18/-10)। परवलय के x अंतःखंड लगभग x =. पर हैं - 1.318 तथा 1.518
  • हमारा पिछला मानक रूप उदाहरण, 2x² + 16x + 39 निम्नानुसार द्विघात सूत्र में जुड़ जाता है:
  • एक्स = (-16 +/- वर्गआरटी(16.)² - 4(2)(39)))/2(2)
  • एक्स = (-16 +/- वर्गआरटी(256 - 312))/4
  • एक्स = (-16 +/- वर्गआरटी(-56)/-10
  • क्योंकि ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल ज्ञात करना असंभव है, हम जानते हैं कि कोई एक्स इंटरसेप्ट नहीं इस विशेष परवलय के लिए मौजूद हैं।

चरण 9. यदि आवश्यक हो, तो y अवरोधन ज्ञात कीजिए और आलेखित कीजिए।

हालांकि समीकरण के y अवरोधन (जिस बिंदु पर परवलय y अक्ष से होकर गुजरता है) को खोजने के लिए अक्सर आवश्यक नहीं होता है, आपको अंततः इसकी आवश्यकता हो सकती है, खासकर यदि आप स्कूल में हैं। यह प्रक्रिया काफी आसान है - बस x = 0 सेट करें, फिर f(x) या y के लिए अपना समीकरण हल करें, जो आपको y मान देता है जिस पर आपका परवलय y अक्ष से होकर गुजरता है। एक्स इंटरसेप्ट के विपरीत, मानक पैराबोलस में केवल एक वाई इंटरसेप्ट हो सकता है। नोट - मानक रूप समीकरणों के लिए, y अवरोधन y = c पर है।

• उदाहरण के लिए, हम अपने द्विघात समीकरण 2x. को जानते हैं² + 16x + 39 में y = 39 पर y अवरोधन है, लेकिन इसे निम्नानुसार भी पाया जा सकता है:

  • एफ (एक्स) = 2x² + 16x + 39
  • एफ (एक्स) = 2(0)² + 16(0) + 39

  • f(x) = 39. परवलय का y अंतःखंड पर है वाई = 39.

    जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, y अवरोधन y = c पर है।

• हमारा शीर्ष रूप समीकरण 4(x - 5)² + 12 में एक y अवरोधन है जिसे निम्नानुसार पाया जा सकता है:

  • एफ (एक्स) = 4 (एक्स - 5)² + 12
  • एफ(एक्स) = 4(0 - 5)² + 12
  • एफ(एक्स) = 4(-5)² + 12
  • एफ(एक्स) = 4(25) + 12

  • f(x) = 112. परवलय का y अंतःखंड पर है वाई = 112.

चरण 10. यदि आवश्यक हो, तो अतिरिक्त बिंदुओं को आलेखित करें, फिर आलेख।

अब आपके पास अपने समीकरण के लिए एक शीर्ष, दिशा, x अवरोधन, और, संभवतः, y अवरोधन होना चाहिए। इस बिंदु पर, आप या तो एक दिशानिर्देश के रूप में आपके पास मौजूद बिंदुओं का उपयोग करके अपने परवलय को खींचने का प्रयास कर सकते हैं, या आप अपने परवलय को "भरने" के लिए अधिक अंक प्राप्त कर सकते हैं ताकि आपके द्वारा खींचा गया वक्र अधिक सटीक हो। ऐसा करने का सबसे आसान तरीका है कि आप अपने शीर्ष के दोनों ओर कुछ x मानों को प्लग इन करें, फिर इन बिंदुओं को आपके द्वारा प्राप्त y मानों का उपयोग करके प्लॉट करें। अक्सर, शिक्षकों को आपके परवलय को खींचने से पहले आपको एक निश्चित संख्या में अंक प्राप्त करने की आवश्यकता होगी।

• आइए समीकरण x. पर फिर से विचार करें² + 2x + 1. हम पहले से ही जानते हैं कि इसका एकमात्र x अंतःखंड x = -1 पर है। क्योंकि यह केवल एक बिंदु पर x अवरोधन को छूता है, हम अनुमान लगा सकते हैं कि इसका शीर्ष इसका x अवरोधन है, जिसका अर्थ है कि इसका शीर्ष (-1, 0) है। इस परवलय के लिए हमारे पास प्रभावी रूप से केवल एक बिंदु है - एक अच्छा परवलय खींचने के लिए लगभग पर्याप्त नहीं है। यह सुनिश्चित करने के लिए कि हम एक सटीक ग्राफ़ बनाते हैं, आइए कुछ और खोजें।

  • आइए निम्नलिखित x मानों के लिए y मान ज्ञात करें: 0, 1, -2, और -3।
  • 0 के लिए: f(x) = (0)² + 2(0) + 1 = 1. हमारी बात है (0, 1).

  • 1 के लिए: f(x) = (1)² +2(1) + 1 = 4. हमारी बात है (1, 4).

  • -2 के लिए: f(x) = (-2)² + 2(-2) + 1 = 1. हमारी बात है (-2, 1).

  • -3 के लिए: f(x) = (-3)² + 2(-3) + 1 = 4. हमारी बात है (-3, 4).

  • इन बिंदुओं को ग्राफ़ पर आलेखित करें और अपना U-आकार का वक्र बनाएं। ध्यान दें कि परवलय पूरी तरह से सममित है - जब परवलय के एक तरफ आपके बिंदु पूर्ण संख्याओं पर स्थित होते हैं, तो आप आमतौर पर परवलय के समरूपता के अक्ष पर दिए गए बिंदु को दूसरी तरफ संबंधित बिंदु खोजने के लिए केवल एक दिए गए बिंदु को प्रतिबिंबित करके अपने आप को कुछ काम बचा सकते हैं। परवलय का।

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टिप्स

• ध्यान दें कि f(x) = ax. में² + बीएक्स + सी, यदि बी या सी बराबर शून्य है, तो वे संख्याएं गायब हो जाती हैं। उदाहरण के लिए, 12x² + 0x + 6 12x. हो जाता है² + 6 क्योंकि 0x 0 है।
• जैसा कि आपका बीजगणित शिक्षक आपको बताता है, गोल संख्याएँ या भिन्नों का उपयोग करें। इससे आपको अपने द्विघात समीकरणों को ठीक से रेखांकन करने में मदद मिलेगी।