रेखांकन समीकरण एक बहुत ही सरल प्रक्रिया है जिसे ज्यादातर लोग महसूस करते हैं। कैलकुलेटर का उपयोग किए बिना रेखांकन की मूल बातें सीखने के लिए आपको गणित का प्रतिभाशाली या सीधा-सा छात्र होने की आवश्यकता नहीं है। रैखिक, द्विघात, असमानता और निरपेक्ष मान समीकरणों को रेखांकन करने के लिए इनमें से कुछ विधियों को जानें।
कदम
६ में से विधि १: रेखीय समीकरणों को रेखांकन करना
चरण 1. y=mx+b सूत्र का प्रयोग करें।
एक रैखिक समीकरण को रेखांकन करने के लिए, आपको बस इसे इस सूत्र के चरों में स्थानापन्न करना होगा।
- सूत्र में, आप (x, y) के लिए हल करेंगे।
- चर एम = ढलान। ढलान को रन ओवर राइज़, या आपके द्वारा ऊपर और ऊपर जाने वाले बिंदुओं की संख्या के रूप में भी जाना जाता है।
- सूत्र में, b= y-अवरोधन। यह आपके ग्राफ़ पर वह स्थान है जहाँ रेखा y-अक्ष को पार करेगी।
चरण 2. अपना ग्राफ बनाएं।
एक रेखीय समीकरण को रेखांकन करना सबसे सरल है, क्योंकि आपको रेखांकन से पहले किसी भी संख्या की गणना करने की आवश्यकता नहीं है। बस अपना कार्तीय निर्देशांक तल बनाएं।
चरण 3. अपने ग्राफ पर y-अवरोधन (b) ज्ञात कीजिए।
यदि हम y=2x-1 के उदाहरण का उपयोग करते हैं, तो हम देख सकते हैं कि '-1' समीकरण के उस बिंदु पर है जहाँ आपको 'b' मिलेगा। यह '-1' को y-अवरोधन बनाता है।
- y-अवरोधन को हमेशा x=0 के साथ रेखांकन किया जाता है। इसलिए, y-अवरोधन निर्देशांक (0, -1) हैं।
- अपने ग्राफ पर एक बिंदु रखें जहां y-अवरोधन होना चाहिए।
चरण 4. ढलान का पता लगाएं।
y=2x-1 के उदाहरण में, ढलान वह संख्या है जहाँ 'm' मिलेगा। इसका मतलब है कि हमारे उदाहरण के अनुसार, ढलान '2' है। हालांकि, ढलान, रन ओवर रन है, इसलिए हमें एक अंश होने के लिए ढलान की आवश्यकता है। क्योंकि '2' एक पूर्ण संख्या और एक भिन्न है, यह केवल '2/1' है।
- ढलान को रेखांकन करने के लिए, y-अवरोधन से शुरू करें। वृद्धि (रिक्त स्थान ऊपर की संख्या) भिन्न का अंश है, जबकि रन (पक्ष में रिक्त स्थान की संख्या) भिन्न का हर है।
- हमारे उदाहरण में, हम ढलान को -1 से शुरू करके और फिर 2 से ऊपर और दाईं ओर 1 की ओर रेखांकन करेंगे।
- एक सकारात्मक वृद्धि का मतलब है कि आप y-अक्ष को ऊपर ले जाएंगे, जबकि एक नकारात्मक वृद्धि का मतलब है कि आप नीचे जाएंगे। एक सकारात्मक रन का मतलब है कि आप एक्स-अक्ष के दाईं ओर चले जाएंगे, जबकि एक नकारात्मक रन का मतलब है कि आप एक्स-अक्ष के बाईं ओर चले जाएंगे।
- आप ढलान का उपयोग करके जितने चाहें उतने निर्देशांक चिह्नित कर सकते हैं, लेकिन आपको कम से कम एक को चिह्नित करना होगा।
चरण 5. अपनी रेखा खींचना।
एक बार जब आप ढलान का उपयोग करके कम से कम एक अन्य समन्वय को चिह्नित कर लेते हैं, तो आप इसे एक रेखा बनाने के लिए अपने y-अवरोधन समन्वय से जोड़ सकते हैं। रेखा को ग्राफ़ के किनारों तक बढ़ाएँ, और यह दिखाने के लिए कि यह अनंत रूप से जारी है, तीर बिंदुओं को सिरों पर जोड़ें।
विधि २ का ६: एकल-चर असमानताओं को रेखांकन करना
चरण 1. एक संख्या रेखा खींचिए।
चूंकि एकल-चर असमानताएं केवल एक अक्ष पर होती हैं, इसलिए आपको कार्टेशियन निर्देशांक का उपयोग करने की आवश्यकता नहीं है। इसके बजाय, एक साधारण संख्या रेखा खींचिए।
चरण 2. अपनी असमानता का रेखांकन करें।
ये बहुत सरल हैं, क्योंकि इनमें केवल एक निर्देशांक होता है। आपको ग्राफ में x<1 जैसी असमानता दी जाएगी। ऐसा करने के लिए सबसे पहले अपनी नंबर लाइन पर '1' ढूंढें।
- यदि आपको "इससे बड़ा" चिन्ह दिया गया है, जो या तो > या < है, तो संख्या के चारों ओर एक खुला वृत्त खींचिए।
- यदि आपको "इससे बड़ा या उसके बराबर" चिन्ह दिया जाता है, या तो > या <, तो अपने बिंदु के चारों ओर वृत्त भरें।
चरण 3. अपनी रेखा खींचें।
आपके द्वारा अभी-अभी बनाए गए बिंदु का उपयोग करते हुए, असमानता का प्रतिनिधित्व करने वाली एक रेखा खींचने के लिए असमानता के प्रतीक का पालन करें। यदि यह बिंदु से 'बड़ा' है, तो रेखा दाईं ओर जाएगी। यदि यह बिंदु से 'कम' है, तो रेखा बाईं ओर खींची जाएगी। यह दिखाने के लिए कि रेखा जारी है और एक खंड नहीं है, अंत में एक तीर जोड़ें।
चरण 4. अपने उत्तर की जाँच करें।
किसी भी संख्या में 'x' के बराबर रखें और इसे अपनी संख्या रेखा पर अंकित करें। यदि यह संख्या आपके द्वारा खींची गई रेखा पर है, तो आपका ग्राफ सटीक है।
विधि 3 का 6: रेखीय असमानताओं को रेखांकन करना
चरण 1. स्लोप इंटरसेप्ट फॉर्म का उपयोग करें।
यह वही सूत्र है जिसका उपयोग नियमित रैखिक समीकरणों को रेखांकन करने के लिए किया जाता है, लेकिन '=' चिह्न का उपयोग करने के बजाय, आपको एक असमानता चिह्न दिया जाएगा। असमानता का चिन्ह या तो होगा,.
- स्लोप इंटरसेप्ट फॉर्म y=mx+b है, जहां m=ढलान और b=y-इंटरसेप्ट।
- असमानता मौजूद होने का मतलब है कि कई समाधान हैं।
चरण 2. असमानता का ग्राफ बनाएं।
अपने निर्देशांकों को चिह्नित करने के लिए y-अवरोधन और ढलान का पता लगाएं। यदि हम y>1/2x+2 के उदाहरण का उपयोग करते हैं, तो y-प्रतिच्छेद '2' है। ढलान ½ है, जिसका अर्थ है कि आप एक बिंदु ऊपर और दाईं ओर दो बिंदुओं पर जाते हैं।
चरण 3. अपनी रेखा खींचना।
हालांकि इससे पहले कि आप इसे बनाएं, असमानता के प्रतीक की जांच करें जिसका उपयोग किया जा रहा है। यदि यह "से बड़ा" प्रतीक है, तो आपकी रेखा को डैश किया जाना चाहिए। यदि यह "इससे बड़ा या बराबर" प्रतीक है, तो आपकी रेखा ठोस होनी चाहिए।
चरण 4. अपने ग्राफ को छायांकित करें।
चूंकि असमानता के कई समाधान हैं, इसलिए आपको अपने ग्राफ़ पर सभी संभावित समाधान दिखाने होंगे। इसका मतलब है कि आप अपने सभी ग्राफ को अपनी रेखा के ऊपर या नीचे छायांकित करेंगे।
- एक निर्देशांक चुनें - (0, 0) पर मूल बिंदु अक्सर सबसे आसान होता है। सुनिश्चित करें कि आप ध्यान दें कि यह निर्देशांक आपके द्वारा खींची गई रेखा के ऊपर या नीचे है।
- इन निर्देशांकों को अपनी असमानता में बदलें। हमारे उदाहरण के बाद, यह 0>1/2(0)+1 होगा। इस असमानता को दूर करें।
- यदि निर्देशांक युग्म आपकी रेखा के ऊपर एक बिंदु है और उत्तर सत्य है, तो आप रेखा के ऊपर छायांकित करेंगे। यदि असमानता का उत्तर गलत है, तो आप रेखा के नीचे छाया करेंगे। यदि निर्देशांक आपकी रेखा के नीचे है और उत्तर सत्य है, तो आप अपनी रेखा के नीचे छायांकित करते हैं। अगर आपका जवाब गलत है, तो हमारी लाइन के ऊपर शेड करें।
- हमारे उदाहरण में, (0, 0) हमारी रेखा से नीचे है और असमानता में प्रतिस्थापित होने पर एक गलत समाधान बनाता है। इसका मतलब है कि हम रेखा के ऊपर शेष ग्राफ को छायांकित करते हैं।
विधि ४ का ६: द्विघात समीकरणों को रेखांकन करना
चरण 1. अपने सूत्र की जांच करें।
द्विघात समीकरण का अर्थ है कि आपके पास कम से कम एक चर है जो चुकता है। इसे आम तौर पर y=ax(squared)+bx+c सूत्र में लिखा जाएगा।
- द्विघात समीकरण को रेखांकन करने से आपको एक परवलय मिलेगा, जो एक 'U' आकार का वक्र है।
- आपको इसे रेखांकन करने के लिए कम से कम तीन बिंदु खोजने होंगे, जो शीर्ष से शुरू होता है जो कि सबसे केंद्र बिंदु है।
चरण 2. 'ए,' 'बी,' और 'सी' खोजें।
यदि हम उदाहरण y=x(squared)+2x+1 का उपयोग करते हैं, तो a=1, b=2, और c=1. प्रत्येक अक्षर उस संख्या से सीधे मेल खाता है जो उस चर के ठीक पहले होता है जो समीकरण में बैठता है। यदि समीकरण में 'x' से पहले कोई संख्या नहीं है, तो चर '1' के बराबर है क्योंकि यह माना जाता है कि 1x है।
चरण 3. शीर्ष का पता लगाएं।
शीर्ष, परवलय के बीच में बिंदु को खोजने के लिए, सूत्र -b/2a का उपयोग करें। हमारे उदाहरण में, यह समीकरण -2/2(1) में बदल जाएगा, जो -1 के बराबर है।
चरण 4. एक टेबल बनाएं।
अब आप शीर्ष -1 को जानते हैं, जो x-अक्ष पर एक बिंदु है। हालाँकि, यह शीर्ष निर्देशांक का केवल एक बिंदु है। अपने परवलय पर संगत y-निर्देशांक के साथ-साथ दो अन्य बिंदुओं को खोजने के लिए, आपको एक तालिका बनानी होगी।
चरण 5. एक तालिका बनाएं जिसमें तीन पंक्तियाँ और दो स्तंभ हों।
- शीर्ष केंद्र स्तंभ में शीर्ष के लिए x-निर्देशांक रखें।
- शीर्ष बिंदु से प्रत्येक दिशा (धनात्मक और ऋणात्मक) में समान संख्या में दो और x-निर्देशांक चुनें। उदाहरण के लिए, हम दो ऊपर और दो नीचे जा सकते हैं, जिससे दो नंबर हम अन्य रिक्त तालिका रिक्त स्थान '-3' और '1' में भरते हैं।
- आप कोई भी संख्या चुन सकते हैं जिसे आप तालिका की शीर्ष पंक्ति में भरना चाहते हैं, जब तक कि वे पूर्ण संख्याएँ हों और शीर्ष से समान दूरी पर हों।
- यदि आप एक स्पष्ट ग्राफ प्राप्त करना चाहते हैं, तो आप तीन के बजाय पांच निर्देशांक पा सकते हैं। ऐसा करना ऊपर की तरह ही प्रक्रिया है, लेकिन अपनी तालिका को तीन के बजाय पांच कॉलम दें।
चरण 6. y-निर्देशांक को हल करने के लिए अपनी तालिका और सूत्र का उपयोग करें।
एक बार में, अपनी तालिका से x-निर्देशांकों को निरूपित करने के लिए आपके द्वारा चुनी गई संख्याओं को लें और उन्हें मूल समीकरण में डालें। 'y' के लिए हल करें।
- हमारे उदाहरण का अनुसरण करते हुए, हम y=x(squared)+2x+1 के मूल सूत्र में स्थानापन्न करने के लिए '-3' के अपने चुने हुए निर्देशांक का उपयोग कर सकते हैं। यह y= -3(squared)+2(3)+1 में बदल जाएगा, y=4 का उत्तर देगा।
- नया y-निर्देशांक उस x-निर्देशांक के नीचे रखें जिसका उपयोग आपने अपनी तालिका में किया था।
- इस तरह से तीनों (या पांच, यदि आप अधिक चाहते हैं) निर्देशांक को हल करें।
चरण 7. निर्देशांकों को आलेखित करें।
अब जब आपके पास कम से कम तीन पूर्ण समन्वय जोड़े हैं, तो उन्हें अपने ग्राफ़ पर चिह्नित करें। उन सभी को एक परवलय में जोड़ने के लिए ड्रा करें, और आप समाप्त कर चुके हैं!
विधि ५ का ६: द्विघात असमानता का रेखांकन करना
चरण 1. द्विघात सूत्र को हल करें।
द्विघात असमानता द्विघात सूत्र के समान सूत्र का उपयोग करती है, लेकिन इसके बजाय एक असमानता प्रतीक का उपयोग करेगी। उदाहरण के लिए, यह y<ax(squared)+bx+c जैसा दिखेगा। "एक द्विघात समीकरण का रेखांकन" में ऊपर से पूर्ण चरणों का उपयोग करते हुए, अपने परवलय को रेखांकन करने के लिए तीन निर्देशांक खोजें।
चरण 2. अपने ग्राफ़ पर निर्देशांकों को चिह्नित करें।
यद्यपि आपके पास अपना पूरा परवलय बनाने के लिए पर्याप्त अंक हैं, फिर भी आकार न बनाएं।
चरण 3. अपने ग्राफ़ पर बिंदुओं को कनेक्ट करें।
चूँकि आप एक द्विघात असमानता का रेखांकन कर रहे हैं, इसलिए आपके द्वारा खींची गई रेखा थोड़ी भिन्न होगी।
- यदि आपका असमानता प्रतीक "इससे बड़ा" या "इससे कम" (> या <) था, तो आप निर्देशांकों के बीच एक धराशायी रेखा खींचेंगे।
- यदि आपका असमानता चिन्ह "इससे बड़ा या बराबर" या "इससे कम या बराबर" (> या <) था, तो आपके द्वारा खींची गई रेखा ठोस होगी।
- तीर बिंदुओं के साथ अपनी पंक्तियों को समाप्त करें यह दिखाने के लिए कि समाधान आपके ग्राफ़ की सीमा से परे हैं।
चरण 4. ग्राफ को छायांकित करें।
एकाधिक समाधान दिखाने के लिए, ग्राफ़ के उस भाग को छायांकित करें जिसमें समाधान पाया जा सकता है। यह पता लगाने के लिए कि ग्राफ़ के किस भाग को छायांकित किया जाना चाहिए, अपने सूत्र में निर्देशांकों के एक युग्म का परीक्षण करें। उपयोग करने के लिए एक आसान सेट (0, 0) है। ध्यान दें कि ये निर्देशांक आपके परवलय के भीतर या बाहर स्थित हैं या नहीं।
- आपके द्वारा चुने गए निर्देशांक के साथ असमानता को हल करें। यदि हम y>x(squared)-4x-1 के उदाहरण का उपयोग करते हैं और निर्देशांक (0, 0) को प्रतिस्थापित करते हैं, तो यह 0>0(squared)-4(0)-1 में बदल जाएगा।
- यदि इसका समाधान सत्य है और निर्देशांक परवलय के अंदर हैं, तो परवलय के अंदर छायांकित करें। यदि समाधान गलत है, तो परवलय के बाहर छाया करें।
- यदि इसका समाधान सत्य है और निर्देशांक परवलय के बाहर हैं, तो परवलय के बाहर छायांकित करें। यदि घोल गलत है, तो परवलय के अंदर छायांकित करें।
विधि ६ का ६: एक निरपेक्ष मान समीकरण का रेखांकन करना
चरण 1. अपने समीकरण की जांच करें।
सबसे बुनियादी निरपेक्ष मान समीकरण y=|x| के रूप में दिखाई देगा। हालांकि अन्य संख्याएं या चर शामिल हो सकते हैं।
चरण 2. निरपेक्ष मान को 0 के बराबर करें।
ऐसा करने के लिए, सब कुछ निरपेक्ष मान लाइनों में बनाएं | | = 0। यदि हम उदाहरण y=|x-2|+1 का उपयोग करते हैं, तो हमें |x-2|=0 बनाकर निरपेक्ष मान प्राप्त होता है। तब निरपेक्ष मान 2 हो जाता है।
- निरपेक्ष मान |x|. से अंकों की संख्या है संख्या रेखा पर '0' तक। तो |2|. का निरपेक्ष मान 2 है, और |-2|. का निरपेक्ष मान है भी दो है। ऐसा इसलिए है क्योंकि दोनों स्थितियों में '2' और '-2' संख्या रेखा पर शून्य से 2 कदम दूर हैं।
- आपके पास एक निरपेक्ष मान समीकरण हो सकता है जहाँ 'x' अकेला है। उस स्थिति में, निरपेक्ष मान '0' है। उदाहरण के लिए, y=|x|+3 y=|0|+3 में बदल जाता है, जो '3' के बराबर होता है।
चरण 3. एक टेबल बनाएं।
आप चाहते हैं कि इसमें तीन पंक्तियाँ और दो स्तंभ हों।
- पहले निरपेक्ष मान को 'X' के लिए शीर्ष केंद्र कॉलम में रखें।
- प्रत्येक दिशा में अपने x-निर्देशांक से समान दूरी पर दो अन्य संख्याएँ चुनें (सकारात्मक और ऋणात्मक)। अगर |x|=0, फिर '0' से समान संख्या में रिक्त स्थान ऊपर और नीचे ले जाएं।
- आप कोई भी संख्या चुन सकते हैं, हालांकि जो x-निर्देशांक के पास हैं वे सबसे अधिक सहायक होते हैं। वे भी पूर्ण संख्या होनी चाहिए।
चरण 4. असमानता को हल करें।
आपको y-निर्देशांक ज्ञात करने की आवश्यकता है जो आपके पास मौजूद तीन x-निर्देशांक वाले जोड़े हैं। ऐसा करने के लिए, x-निर्देशांक मानों को असमानता में बदलें और 'y' के लिए हल करें। इन उत्तरों को अपनी टेबल पर भरें।
चरण 5. बिंदुओं को रेखांकन करें।
निरपेक्ष मान समीकरण को रेखांकन करने के लिए आपको केवल तीन बिंदुओं की आवश्यकता होती है, लेकिन यदि आप चाहें तो अधिक उपयोग कर सकते हैं। एक निरपेक्ष मान समीकरण आपके ग्राफ़ पर हमेशा "V" आकार बनाएगा। यह दिखाने के लिए कि रेखा आपके ग्राफ़ के किनारे से आगे फैली हुई है, सिरों पर तीर जोड़ें।
टिप्स
- समीकरणों को रेखांकन करते समय ग्राफ पेपर का उपयोग करना सबसे अच्छा है।
- यह सत्यापित करने के लिए कि आप इसे सही तरीके से कर रहे हैं, किसी मित्र या शिक्षक से अपने काम की समीक्षा करने के लिए कहें।
